В реальном мире существуют абсолютные и относительные величины, а в математике существует множество парадоксов. Но не найдется на много законов, которые бы столь часто понимались противоречиво, как например, закон больших чисел. Впервые он был доказан Я. Бернулли (1654—1705 гг.) в его книге «Искусство предположений», которая была опубликована только после смерти автора в 1713 г. Он не использовал понятия «закон больших чисел» - это название ввел Пуассон лишь в 1837 г.
По закону Бернулли, если правильную монету бросают n раз и при этом k раз выпадает герб, то при увеличении числа бросаний (n) отношение k/n (относительная частота выпадения герба) стремится к 1/2. Игроки часто уверены, что если правильная монета много раз выпадает гербом, то, согласно закону больших чисел, вероятность выпадения решки неизбежно возрастает (в противном случае нарушалось бы условие, что при очень большом числе бросаний выпадение герба и решки происходят приблизительно с одинаковой частотой). С другой стороны, у монет, очевидно, нет памяти, поэтому они не знают сколько раз они уже выпадали гербом или решкой. По этой причине шансы выпадения герба при каждом бросании равны 1/2 даже если монета уже выпала гербом тысячу раз подряд.
По закону Бернулли, при очень большом числе бросаний герб выпадает приблизительно столько же раз, сколько и решка. Но давайте уточним, что означает «приблизительно». Игрок, который полагает, что разность между количествами выпадений герба и решки должна быть очень мала, ошибается, ведь закон Бернулли утверждает лишь, что отношение числа выпадений герба к общему числу бросаний приближенно равно ½.
Парадокс (от др.-греч. παράδοξος — неожиданный, странный от др.-греч. παρα-δοκέω — кажусь) — ситуация (высказывание, утверждение, суждение или вывод), которая может существовать в реальности, но не имеет логического объяснения.
Но парадоксы существуют не только в математике. Экономическая сфера просто изобилует ими: парадокс Гибсона - почему процентные ставки и цены скоррелированы; парадокс Коперника-Грешема - плохие деньги вытесняют хорошие, если они имеют одинаковую цену; парадокс Гиффена - если цены на хлеб начнут повышаться, люди станут покупать его больше. Д. Зигель, профессор финансов школы бизнеса Wharton, обратил внимание на тот факт, что математическое ожидание величины, обратной обменному курсу, больше чем величина, обратная математическому ожиданию обменного курса. Такая зависимость означает, что определенное процентное увеличение в определенной валюте соответствует меньшему процентному уменьшению валюты по другую сторону обменного курса. Однако это математическая истина, а какой она имеет экономический смысл - рассмотрим на примерах. При особенно заметных изменениях валютных курсов возникает вопрос, а нельзя ли использовать парадокс Зигеля себе во благо?
Джереми Зигель
Парадокс Зигеля в нескольких словах можно продемонстрировать следующим образом. Пусть 8 августа 2012 года за 1 евро давали 1.2464 доллара США; соответственно курс доллара к евро равнялся обратной величине, т.е. за 1 доллар США давали 0.8023 евро. Со временем евро укрепился и 14 сентября 2012 года за 1 евро стали давать уже не 1.2464, а 1.3167 доллара США; естественно, что при этом доллар по отношению к евро ослабел и стал стоить только 0.7595 евро. Но вот какая удивительная вещь получается: если евро укрепился на 100*(1.3167-1.2464)/1.2464= 100*(0,0703 /1.2464)=5.64%, то доллар за это же самое время упал только на 100*(0.8023 -0.7595)/0.8023= -5.33%. То есть совокупное изменение курсов дает нам положительную разницу - плюс 0.31%.
Джереми Зигель формулировал этот парадокс научно, а не в такой упрощенной интерпретации. Если говорить научным языком, то он вытекает из того факта, что математическое ожидание величины, обратной обменному курсу, больше, чем величина, обратная математическому ожиданию обменного курса. Иначе говоря, если Е - это математическое ожидание, а С - обменный курс, то парадокс Зигеля сводится к следующему математическому выражению:
Е(1/С)>1/[Е(С)].
Марк Крицман
Забавную иллюстрацию этого парадокса приводит Марк Крицман в истории с алкогольными напитками (Mark P.Kritzman Puzzles of Finance, John Wiley & Sons, Inc, 2000). Для простоты и удобства устного счета он исходит из того предположения, что в какой-то начальный момент времени доллар и евро котируются один к одному. При этом формулируются следующие исходные данные: на вино в год он тратит 7500 долларов, а его французский друг - 7500 евро; бутылка вина в США стоит 30 долларов, а бутылка вина во Франции 30 евро. При таких условиях каждый может купить 250 бутылок в год, а вместе они потребляют 500 бутылок.
Однако, зная о парадоксе Зигеля и решив им воспользоваться, М. Крицман с другом пытаются увеличить потребление алкоголя. Для этого они делают вот что: Крицман переводит свои 7500 долларов в 7500 евро, а его друг свои 7500 евро в 7500 долларов, а после этого ждут, когда изменится валютный курс. Пусть со временем евро вырос до 1.25 доллара. Тогда Крицман делает обратную конвертацию своих 7500 евро в 9375 долларов и покупает на них 312.5 бутылок вина, а его приятель конвертирует свои 7500 долларов в 6000 евро и покупает 200 бутылок вина. Таким образом, прибегнув к конвертации, они могут потребить в год 512.5 бутылок или по 256 с четвертью на брата. Это стало возможным благодаря тому, что евро вырос на 25%, тогда как доллар при этом упал только на 20%. Такой же результат был бы получен, если бы доллар вырос на 25%, а евро, соответственно, упал бы на 20%. Получается, что асимметрия изменения валютных курсов дает возможность извлекать ощутимую материальную выгоду, причем - и это самое замечательное - независимо от того, в какую сторону колеблются обменные курсы. Ничто не мешает применять подобную схему вновь и вновь; главное, чтобы обменные курсы отличались от тех, которые действовали на момент установления цены на алкогольную продукцию. Данная схема будет приносить прибыль пока цены на вино не изменятся, или изменятся, но в меньшей степени, чтобы перекрыть преимущества конвертации валют.
В парадоксе Зигеля кажется маловероятным, что каждый житель земли сможет извлекать экономическую выгоду только потому, что валютные курсы колеблются. Если бы это действительно было так, то введение евро следовало бы рассматривать как глупость, ибо обращение единой валюты на множестве европейских стран блокирует для граждан этих стран возможность становиться богаче из-за колебаний валютных курсов. Более того, следовало бы поступать наоборот: скажем, в США ввести свою валюту в каждом отдельном штате, равно как и в России - в каждой отдельной области.
Между тем, ничего подобного мы не наблюдаем. В данной ситуации совершенно не учитывалось влияние процентных ставок, или издержек, связанных с конвертацией валют, или транспортных расходов. Все эти обстоятельства, безусловно, имеют значение. Однако причина того, что асимметрия изменения валютных курсов может приносить реальную выгоду отдельным субъектам, заключается в том, что цены в обеих странах оставались постоянными (как это имело место в случае с вином). Если бы цены изменялись в соответствии с движением валютных курсов, то извлечь экономическую выгоду от асимметрии изменения валютных курсов не представлялось бы возможным.
Другими словами, если цена на что-то (например - другая валюта, отличная от евро и доллара США) быстро адаптируется к изменению курсов, то возможность извлечения экономической выгоды от асимметрии изменения валютных курсов исчезает. Парадокс Зигеля не позволяет извлекать экономическую выгоду, если паритет покупательной способности не изменяется.
Паритет покупательной способности представляет собой принцип, который базируется на том, что валютные курсы подстраиваются так, чтобы стоимость одинаковых товаров и услуг оставалась прежней во всех странах, а это подразумевает, что изменения валютных курсов покрывают соответствующий уровень инфляции.
Нарушение паритета покупательной способности может возникать и наблюдаться продолжительное время в связи с тем, что потребительские предпочтения различны в разных странах, а также в силу того, что существуют торговые барьеры. То есть разница цен не является временной и не поддается устранению посредством предпринимательской деятельности. Кроме того, колебания цен нередко возникают как результат деятельности монетарных властей.
Как известно, рост цен оказывает влияние на различные товары и услуги в разное время и в разной степени. А возможность заработать на разнице цен постоянно привлекает спекулянтов. В этой связи следует признать, что питательная почва для получения прибылей, базирующихся на парадоксе Зигеля, будет существовать практически всегда, за исключением условий социализма - СССР со стабильными ценами и преследованием за спекуляцию.
Парадокс Зигеля, и связанные с ним явления, обсуждались различными авторами. Тем не менее они так и не сделали заключительного вывода о теоретическом значении парадокса. Впрочем, это не помешало многим авторам признать его ограниченную практическую применимость. В то же время есть авторы (например, Hans-Werner Sinn), несогласные с этой точкой зрения, которые считают парадокс Зигеля одной из фундаментальных причин, побуждающих людей к спекуляции. Ведь он предполагает, что ценовой хаос по существу является источником будущих прибылей. Нет никакой надобности, чтобы цены повышались или падали систематически с течением времени. Как закупка товара в настоящее время и продажа его позднее, так и покупка его на форвардном рынке и продажа его на будущем рынке наличного товара во многих случаях может принести прибыль.
Литература
1. Соболев В.В. Валютный дилинг на финансовых рынках/ Юж.-Рос. гос. техн. ун-т (НПИ). – Новочеркасск, 2009. – 442 с.
2. Сорос Дж. Алхимия финансов: Пер.с англ. – М.: “Инфра-М”, 1996. – 416 с.
3. http://bankir.ru/tehnologii/s/paradoks-zigelya-ili-tonkoe-iskysstvo-spekylyacii-2435275/
В.В.Соболев,
Институт финансового контроля и аудита
