Математическое преимущество при заключении валютной сделки

Валютный трейдер используя валютные пары, как торгуемый финансовый инструмент, должен хорошо знать и понимать его средний диапазон движения. И, следовательно, будет иметь математическое преимущество в сделке. Ведь основная и нетривиальная задача трейдера в использовании торговой системы, которая давала бы хоть минимальное статистическое преимущество. Трейдер должен вычислить оптимальный уровень риска и строго следовать правилам своей системы. Математика показывает, что психологические проблемы вытекают из теории вероятностей. Математические науки выделили собственную дисциплину, которая исследует игровые явления, которые можно обработать математическим аппаратом.

Идея создания математической теории конфликта и теории игр появилась в начале ХХ века, о чем свидетельствуют труды К. Бутона, Э. Ласкера, Е. Мура, Э. Цермело, Э. Бореля и Г. Штейнгауза. Теория игр представляет собой раздел математики, занимающейся исследованием вопросов поведения и разработкой оптимальных правил и стратегий поведения каждого из участников в конфликтной ситуации. Однако даже математическая теория игр не способна на сто процентов предопределить исход некоторых конфликтов. Простейшие математические игры часто используют как задачи, в которых нужно найти выигрышную стратегию, либо одно положение перевести в другое.

Иногда задачи бывают весьма простыми и тогда они решаются известными методами, но есть хоть и простые, но до сих пор неразрешённые задачи, связанные с математическими играми. Например, в играх нельзя придумать алгоритм победы или, как говорят, стратегию победы, то есть иметь возможность действовать определенным алгоритмическим образом в ответ на каждый ход противника, иными словами, в игре возможна победа и без стратегии, а также ничья. Средний доход обычного казино по своей величине можно сопоставить только с доходностью сделок на Уолл-Стрит. Поэтому люди давно поняли, что нельзя постоянно рассчитывать на свою удачу и начали использовать статистические методы для стабильности получения своей прибыли. Казино получает огромные суммы, потому что математическое ожидание игры, находится на стороне игорного дома. И вне зависимости от того, в какой игре участвовать, рано или поздно победит казино. Прибыль казино растет еще быстрее, если в ассортимент игр входят те, которые заканчиваются в сравнительно быстрый срок – рулетка, кости либо несколько карт.

Поэтому любому трейдеру для успеха в своей работе необходимо решить три самые важные задачи:

1. Добиться, чтобы число удачных сделок превышало неизбежные ошибки и просчеты.

2. Настроить свою систему торговли так, чтобы возможность заработка была как можно чаще.

3. Достичь стабильности положительного результата своих операций.

И здесь, трейдерам, помощь может оказать математическое ожидание. Данный термин в теории вероятности является одним из ключевых. С его помощью можно дать усредненную оценку некоторому случайному значению. Математическое ожидание случайной величины подобно центру тяжести, если представить себе все возможные вероятности точками с различной массой. Применительно к торговой стратегии для оценки ее эффективности чаще всего используют математическое ожидание прибыли (либо убытка). Этот параметр определяют, как сумму произведений заданных уровней прибыли и потерь и вероятности их появления. К примеру, разработанная стратегия торговли предполагает, что 37% всех операций принесут прибыль, а оставшаяся часть – 63% - будет убыточной. При этом средний доход от удачной сделки составит 7 долларов, а средний проигрыш будет равен 1,4 доллара. Рассчитаем математическое ожидание торговли по такой системе

Мо = 0,37 х 7 + (0,63 х (-1,4)) = 2,59 – 0,882 = 1,708.

Это говорит о том, что, следуя правилам данной системы, в среднем мы будет получать 1,708 доллара от каждой закрытой сделки - условное математическое ожидание. Поскольку полученная оценка эффективности больше нуля, то такую систему вполне можно использовать для реальной работы. Если же в результате расчета математическое ожидание получится отрицательным, то это уже говорит о среднем убытке и такая торговля приведет к разорению. Размер прибыли на одну сделку может быть выражен также и относительной величиной в виде %. Например: процент дохода на 1 сделку - 5%; процент успешных торговых операций - 62%; процент убытка в расчете на 1 сделку - 3%; процент неудачных сделок - 38%; В этом случае математическое ожидание составит (5% х 62% - 3% х 38%)/100 = (310% – 114%)/100 = 1,96%. То есть, средняя сделка принесет 1,96%. Можно разработать систему, которая, несмотря на преобладание убыточных сделок, будет давать положительный результат, поскольку ее Мо>0, но одного ожидания мало. Сложно заработать, если система дает очень мало торговых сигналов. Все хотят получать прибыль часто и помногу, а убытки, чтобы были редкими и маленьким, но практически, на значительное статистическое преимущество рассчитывать не приходится, реальная торговая система будет принадлежать к одному из трёх условных классов:

Редкие крупные выигрыши, но частые небольшие проигрыши.
Промежуточный вариант, где прибыльные сделки случаются лишь чуть-чуть чаще проигрышных и прибыль в удачной сделке лишь чуть больше убытка от неудачной.
Частые небольшие выигрыши и редкие, но довольно существенные проигрыши.

В принципе, ничто вроде бы не мешает торговой системе принадлежащей к любому из этих классов быть прибыльной. Главное, чтобы суммарное математическое ожидание прибыли было больше, чем убытка. Скажем, если у нас в среднем только 1 сделка из 10 приносит прибыль, но она в 12 раз больше убытка от неудачной сделки, такая система позволяет получать прибыль. Математика рассматривает некую упрощённую модель, сходную с реальными вещами лишь в самых важных для конкретного исследования вещах. Рассматривая абстрактную торговую стратегию, как некую азартную игру, вероятность выигрыша и проигрыша в которой заранее известна, так же как и ожидаемый размер выигрыша или проигрыша. Для простоты мы будем полагать, что относительный размер выигрыша и проигрыша фиксирован. В реальных условиях вероятность выигрыша конечно если и известна, то приближённо. Причём метафора азартной игры не совсем адекватна трейдингу. Главное в этой модели, она очень проста и наглядно иллюстрирует роль вероятности в трейдинге. Многие трейдеры очень не любят, когда их работу сравнивают с азартной игрой. И не зря, поскольку это имеет большое значение с точки зрения психологии. Опыт многих показывает, что отношение к трейдингу, как к игре, а не как к серьёзной работе, всегда приводит к проигрышу.

Положим, есть некий фактор, от которого зависит результативность нашей системы, но учесть который мы не можем и он меняется не слишком быстро, медленнее, чем мы закрываем и открываем позиции. На длительном промежутке времени его влияние можно усреднить. Просто считать некую среднюю вероятность. Но останутся ли при этом корректными все предположения, наверно не совсем. По крайней мере, волатильность счёта при этом явно увеличится и будут чередоваться периоды, когда мы будем выигрывать чаще, чем следует из усреднённой вероятности с периодами, когда удачные сделки будут случаться реже. Отсюда вытекает любопытное наблюдение: неучтённая нами закономерность рынка для нас даже хуже, чем истинная случайность, поскольку приводит к большей волатильности нашего счёта по сравнению с последней. Что позволяет просто и наглядно продемонстрировать, как работают законы математики, но далеко не всегда формулы можно просто так взять и применить к реальной работе трейдера. Как правило, это требует учёта многих дополнительных факторов. Современные финансовые рынки по большей части достаточно эффективны. Поэтому трейдеры вынуждены довольствоваться стратегиями, дающими лишь небольшое преимущество. В свою очередь низкое статистическое преимущество приводит к большому влиянию случайности на результаты торговли, и как следствие, к большой волатильности счёта. Человеческая психика очень плохо приспособлена для работы со случайными событиями. Отсюда психологические проблемы трейдеров. Для получения максимальной отдачи от торговой стратегии очень важно выбрать разумный уровень риска.

Критерий Келли позволяет вычислить экстремальный уровень риска, выше которого отдача торговой стратегии может только снижаться. У торговых систем характеризуемых редкими крупными выигрышами и частыми, но незначительными проигрышами, есть одно важное достоинство: они подразумевают небольшой риск на одну сделку, а, следовательно, имеют большой запас прочности по отношению к неучтённым рискам.

В.В.Соболев

Южно-Российский государственный политехнический университет